¿Se puede describir el universo con matemáticas o son una herramienta limitada?

El universo es una entidad compleja y las matemáticas nos permiten describirlo de forma sencilla. Esto no significa que el universo se limite a las descripciones matemáticas, sino que las matemáticas son una herramienta útil para describir el universo.

Se especula mucho sobre la naturaleza de las matemáticas y los posibles límites de su aplicabilidad.

Se especula mucho sobre la naturaleza de las matemáticas y los posibles límites de su aplicabilidad. Mucha gente piensa que las matemáticas son una herramienta que nos permite describir el universo, pero no es la única herramienta para este trabajo. Las matemáticas describen muchas cosas de nuestro mundo, pero hay muchas cosas que no describen. Además, hay muchos problemas no resueltos en matemáticas y física que quizá nunca se resuelvan. Por ejemplo: ¿se puede demostrar el último teorema de Fermat? ¿Se puede demostrar que todo polinomio tiene una raíz módulo p? Estas preguntas parecen estar más allá de nuestro nivel actual de comprensión porque implican unos objetos muy complicados llamados «campos numéricos algebraicos» que han sido muy utilizados en los últimos años por teóricos de los números como Andrew Wiles al buscar soluciones al Último Teorema de Fermat u otros problemas similares como la Conjetura de Goldbach o el Problema de Waring (cuya veracidad fue demostrada el año pasado por Yitang Zhang).

Las matemáticas nos permiten formular preguntas fundamentales sobre el universo, como «¿por qué el espacio es tridimensional?»

Es una buena pregunta. La respuesta es sí, las matemáticas pueden utilizarse para describir las matemáticas: ¡las matemáticas lo describen todo! Pero eso no significa necesariamente que algo como «el universo» o «el cosmos» sea de naturaleza matemática. Sólo significa que pueden describirse con las matemáticas.

Tal vez nos ayude pensar en la diferencia entre el mundo que nos rodea y el propio espacio. En este artículo, cuando digo «espacio», lo que realmente quiero decir es la geometría euclidiana tridimensional (que tiene su propio nombre por razones que son demasiado complicadas para mí). Podemos utilizar la geometría para describir cosas como la distancia, el área y el volumen, y estas descripciones son útiles porque son fáciles de entender para los humanos: cuando alguien me pregunta a qué distancia está algo de mi casa, no necesito una calculadora; sólo necesito mi cerebro (o Google Maps).

Una descripción común de las leyes de la física es que son «matemáticas».

Pero, ¿qué significa decir que algo es matemático?

En general, los matemáticos estudian estructuras abstractas. Intentan encontrar toda la información posible sobre estas estructuras. Quieren saber qué propiedades son ciertas para todos los elementos de una estructura determinada y qué propiedades dependen de otras estructuras (o a veces de objetos no matemáticos). Cuanto más se sepa sobre una estructura concreta, mejor se podrá predecir cómo se comportará o cambiará con el tiempo.

Cuando decimos que algo es matemático, nos referimos a que existe alguna forma de describir su comportamiento utilizando sólo números junto con operaciones básicas como la suma o la multiplicación; esto significa que no hay referencias a objetos físicos o a las intenciones de las personas en absoluto. Esto parece extraño porque nuestra experiencia nos dice lo contrario: hablar de matemáticas suena como hablar de cosas fuera de nosotros mismos. Pero, en realidad, no hay nada malo en adoptar este enfoque si tenemos cuidado con el tipo de cosas de las que se habla.

Esta afirmación no es incorrecta, pero es engañosa.

Las matemáticas no son el universo. Las matemáticas son una herramienta, no una descripción del universo. Es posible utilizar las matemáticas para describir el universo, pero no es la única manera de hacerlo. Así que permítanme ser claro: esta afirmación de que «el universo es matemático» no es incorrecta, pero sí es engañosa; están omitiendo todo el trabajo que supone entender cómo las matemáticas pueden utilizarse como herramienta para comprender la realidad y hacer afirmaciones sobre lo que existe o no existe en la realidad, ¡lo cual no es necesariamente cierto en absoluto!

Aprendemos de nuestra experiencia qué descripciones del universo funcionan mejor e identificamos patrones matemáticos que pueden utilizarse para ampliar esas descripciones. Esto funciona porque las leyes de la física se basan en simetrías, y encontramos algunas bellas estructuras matemáticas que las expresan.

La física ha hecho grandes avances aplicando estos patrones matemáticos.

Las matemáticas funcionan porque las leyes de la física se basan en simetrías. Encontramos algunas bellas estructuras matemáticas que las expresan. Algunos ejemplos son:

  • La fórmula de Euler: \(V – E + F = 2\) – es una ecuación sencilla pero describe matemáticamente el principio de conservación de la energía en la mecánica clásica. Se puede utilizar para derivar muchos otros resultados sobre la energía y la materia, que no se conocían cuando Euler escribió su ecuación por primera vez (en 1749).
  • Ecuaciones de Maxwell: estas cuatro ecuaciones describen todos los procesos electromagnéticos de la naturaleza utilizando sólo dos fórmulas que implican derivadas parciales (el tipo más simple de derivada). Fueron escritas por James Clerk Maxwell en 1864, después de que él mismo descubriera las ondas electromagnéticas mediante experimentos con electricidad y magnetismo realizados por él mismo.

Pero sería un error suponer que esto siempre va a funcionar.

Las teorías no se basan en las matemáticas, sino en las observaciones. Y éstas sólo pueden comprobarse mediante otras observaciones o experimentos. No hay ninguna razón para suponer que el universo es matemático, porque no hay ninguna razón para que sea así. De hecho, cuando observamos la naturaleza y tratamos de crear nuevas teorías, descubrimos que la mayoría de ellas implican muy pocos números (quizá uno o dos). En otras palabras, ¡no se basan en las matemáticas en absoluto!

Por poner un ejemplo, la quinta dimensión en una teoría de la gravedad sigue siendo un misterio porque no tenemos experiencia directa de ella. La única forma de describirla es utilizar las matemáticas. Sin embargo, para comprender mejor cómo podría ser la quinta dimensión y cómo podría afectar a nuestro universo, tenemos que imaginar esta hipotética construcción como algo más que un concepto abstracto.

Podemos pensar en esta idea como si intentáramos describir una pieza musical a alguien que nunca ha escuchado música: Tendrías algunas dificultades para explicar cómo suena cada nota o qué emociones te evocan si tu oyente no tiene ningún punto de referencia para haberlas escuchado antes. Es posible que piense que las notas que usted describe suenan extrañas porque nunca antes ha escuchado nada parecido; sin embargo, una vez que escuche esos sonidos por sí mismo, ¡también podrá comprender lo que significan esos intervalos cuando se tocan juntos!

Las matemáticas funcionan porque las leyes de la física se basan en simetrías y encontramos algunas bellas estructuras matemáticas que las expresan.

Las matemáticas son una herramienta que nos ayuda a entender el universo. No es el universo mismo y tiene sus límites. Utilizamos las matemáticas para describir el universo, pero no son el universo mismo. Hay límites a lo que las matemáticas pueden describir y tenemos que ser conscientes de esos límites

Ejemplo:

  • El Universo tiene un tamaño infinito y contiene un número infinito de galaxias (y cualquier otra cosa que puedas imaginar). Pero no importa lo lejos que vayas, siempre habrá más espacio por delante que por detrás. Por lo tanto, el infinito no es un número real; es sólo algo que continúa para siempre sin fin ni principio. No se pueden escribir todos los números en matemáticas porque son demasiados. Aunque todos los ordenadores trabajasen durante siglos sin parar, ¡no tendrían tiempo suficiente!

Conclusión

Hemos visto que las leyes de la física se basan en simetrías y encontramos algunas bellas estructuras matemáticas que las expresan. Por eso las matemáticas funcionan tan bien como herramienta para entender la naturaleza, pero también significa que no hay razón para suponer que siempre será así; en particular, es muy posible (y quizá probable) que nuestra comprensión actual de la gravedad no sobreviva más allá de la relatividad general.

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