Reseña del libro: Geometría diferencial de Cliff Taubes: paquetes, métricas, conexiones y curvatura

La geometría diferencial es la rama de las matemáticas avanzadas que probablemente tiene más libros de texto de calidad que casi cualquier otra. Tiene algunos verdaderos clásicos que todos están de acuerdo en que al menos deben explorarse. Parece que últimamente todos y su primo están tratando de escribir El gran libro de texto de geometría diferencial estadounidense. Realmente no es difícil ver por qué: el tema de la geometría diferencial no solo es una de las aplicaciones más bellas y fascinantes del cálculo y la topología, también es una de las más poderosas. El lenguaje de las variedades es el lenguaje natural de la mayoría de los aspectos de ambos. física clásica y moderna: ni la relatividad general ni la física de partículas pueden expresarse correctamente sin los conceptos de gráficos de coordenadas en variedades diferenciables, grupos de Lie o haces de fibras. Tenía muchas ganas de ver el texto terminado basado en las conferencias de Matemáticas 230 de Cliff Taubes para el curso de DG para estudiantes graduados de primer año en Harvard, que ha enseñado allí de forma intermitente durante varios años. Un libro de un maestro reconocido en el tema es bienvenido, ya que uno puede esperar que aporte la perspectiva de su investigador al material.

Bueno, el libro finalmente está aquí y lamento informar que es un poco decepcionante. Los temas tratados en el libro son los habituales para un curso de posgrado de primer año, aunque se cubren a un nivel un poco más alto de lo habitual: variedades suaves, grupos de Lie, paquetes de vectores, métricas en paquetes de vectores, métricas de Riemann, geodésicas en variedades de Riemann, principal paquetes, derivadas covariantes y conexiones, holonomía, polinomios de curvatura y clases características, tensor de curvatura de Riemann, variedades complejas, subvariedades holomorfas de una variedad compleja y métricas de Kähler. En el lado positivo, está MUY bien escrito y cubre prácticamente todo el panorama actual de la geometría diferencial moderna. La presentación es, en la medida de lo posible, independiente, dado que, en total, el libro tiene 298 páginas y consta de 19 capítulos pequeños. . El profesor Taubes da pruebas detalladas pero concisas de los resultados básicos, lo que demuestra su autoridad en el tema. Por lo tanto, se cubre una cantidad enorme de manera muy eficiente pero bastante clara. Cada capítulo contiene una bibliografía detallada para lectura adicional, que es uno de los aspectos más interesantes del libro: el autor comenta sobre otros trabajos y cómo han influido en su presentación. Su esperanza es claramente que inspire a sus alumnos a leer las otras obras recomendadas al mismo tiempo que la suya, lo que demuestra excelentes valores educativos por parte del autor. Desafortunadamente, este enfoque es un arma de doble filo, ya que va de la mano con una de las fallas del libro, a la que llegaremos en un momento.

Taubes escribe muy bien y salpica su presentación con sus muchas ideas. Además, tiene muchos ejemplos buenos y bien elegidos en cada sección, algo que siento que es muy importante. Incluso cubre material sobre variedades complejas y la teoría de Hodge, que la mayoría de los libros de texto para graduados principiantes evitan debido a las sutilezas técnicas de separar los aspectos estrictamente geométricos diferenciales de los geométricos algebraicos. Así que lo que hay aquí es realmente muy bueno. (Curiosamente, Taubes acredita su influencia para que el libro sea el curso legendario del difunto Rauol Bott en Harvard. Tantos libros de texto recientes y notas de conferencias sobre el tema acreditan el curso de Bott con su inspiración: Loring Tu’s Una introducción a los colectoreslas notas de la conferencia de Ko Honda en la USCD, las de Lawrence Conlon Colectores diferenciables entre los más destacados. Es muy humillante cómo un maestro experto puede definir un tema para una generación).

Desafortunadamente, hay 3 problemas con el libro que lo decepcionan un poco y todos tienen que ver con lo que está no en el libro. El primer y más serio problema con el libro de Taubes es que en realidad no es un libro de texto, es un conjunto de notas de clase. Tiene cero ejercicios. De hecho, el libro parece que Oxford University Press acaba de tomar la versión final de las notas en línea de Taubes y les puso una cubierta. No es que eso sea necesariamente un malo Por supuesto, algunas de las mejores fuentes que existen sobre geometría diferencial (y matemáticas avanzadas en general) son notas de conferencias (me vienen a la mente las notas clásicas de SSChern y John Milnors). Pero para los cursos y algo por lo que desea pagar una cantidad considerable de dinero, realmente desea un poco más que solo un conjunto impreso de notas de clase que alguien podría haber descargado de la web de forma gratuita.

También son mucho más difíciles de usar como libro de texto, ya que debe buscar ejercicios en otro lugar. No creo que un conjunto correspondiente de ejercicios del autor que diseñó el texto para poner a prueba su comprensión es demasiado pedir en algo en lo que está gastando 30-40 dólares, ¿no es así? ¿Es esa la verdadera motivación detrás de las referencias detalladas y obstinadas de cada capítulo? No se anima a los estudiantes a que lean algunas de ellas al mismo tiempo, sino que también requerido para encontrar sus propios ejercicios? Si es así, realmente debería haber sido explicado específicamente y muestra cierta pereza por parte del autor. Cuando se trata de un conjunto de notas de clase diseñadas para enmarcar un curso real en el que el instructor está allí para guiar a los estudiantes a través de la bibliografía en busca de lo que falta, funciona bien. De hecho, podría hacer que el curso sea aún más emocionante y productivo para los estudiantes. Pero si está escribiendo un libro de texto, realmente necesita ser completamente independiente para que cualquier otra referencia que sugiera, sea estrictamente opcional. Cada curso es diferente y si el libro no contiene sus propios ejercicios, eso limita enormemente cuán dependiente puede ser el curso del texto. Estoy seguro de que Taubes tiene todos los conjuntos de problemas de las diversas secciones del curso original. fuertemente anímelo a incluir un conjunto sustancial de ellos en la segunda edición.

El segundo problema, aunque no es tan grave como el primero, es que de un investigador con las credenciales de Taubes, se esperaría un poco más de creatividad y comprensión de para qué sirven todas estas cosas buenas. De acuerdo, este es un texto para principiantes y no puede alejarse demasiado del libro de jugadas básico o será inútil como base para estudios posteriores. Dicho esto, un capítulo final que resuma el estado actual de la geometría diferencial utilizando toda la maquinaria que se ha desarrollado, particularmente en el ámbito de la física matemática, ayudaría mucho a dar al novato una visión emocionante de la vanguardia de un importante rama de las matemáticas puras y aplicadas. A veces se desvía hacia un buen material original que generalmente no se toca en tales libros: la métrica de Schwarzchild, por ejemplo. Pero no da ninguna indicación de por qué es importante o su papel en la relatividad general.

Por último, prácticamente no hay imágenes en el libro. Ninguno. Cero. Nada. De acuerdo, este es un texto de nivel de posgrado y los estudiantes de posgrado deberían hacer sus propios dibujos. Pero para mí, una de las cosas que hace que la geometría diferencial sea tan fascinante es que es un tema tan visual y visceral: uno tiene la sensación en un buen curso clásico de DG de que si fuera lo suficientemente inteligente, podría probar casi todo con una imagen. . Dar una presentación completamente formal y no visual elimina gran parte de esa emoción conceptual y hace que parezca mucho más seco y menos interesante de lo que realmente es. En esa segunda edición, consideraría incluir algunas imágenes. No tienes que agregar muchos si eres un purista. Pero algunos, particularmente en los capítulos sobre clases características y secciones de haces de fibras y vectores, aclararían inmensamente estas partes.

Entonces, ¿el veredicto final? Una fuente muy sólida de la cual aprender GD por primera vez a nivel de posgrado, pero deberá complementarse ampliamente para completar las deficiencias. Afortunadamente, cada capítulo viene con un muy buen conjunto de referencias. Buenas lecturas complementarias y ejercicios se pueden seleccionar fácilmente de estos. Recomiendo encarecidamente el clásico de Guillemin y Pollack. Topología diferencial como lectura preliminar, la “trilogía” de John M. Lee para lectura colateral y ejercicios, el impresionante texto de 2 volúmenes orientado a la física Campos de geometría, topología y calibre por Gregory Naber por las conexiones y aplicaciones a la física, así como muchas buenas imágenes y cálculos concretos. Para una presentación más profunda de geometría diferencial compleja, pruebe el clásico de Wells y el texto más reciente Geometría diferencial compleja por Zhang. Con todo esto para complementar a Taubes, estará en excelente forma para un curso de un año en geometría diferencial moderna.

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