¿Qué son los números primos y por qué les interesan a los matemáticos?

Los números primos se han estudiado durante siglos. Son importantes para muchos campos matemáticos, como la teoría de los números y la criptografía. Un número primo es un número natural (1, 2, 3, 4…) que sólo puede dividirse por sí mismo o por 1. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7 y 11. Hay infinitos números primos, pero no se conoce un patrón de cuándo se producen en secuencia. Hasta ahora se ha demostrado que hay una cantidad infinita de números primos, pero no se ha demostrado si todos los enteros (números enteros positivos) pueden escribirse como el producto de dos primos o no.

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un entero positivo (número entero) que tiene exactamente dos divisores naturales distintos: 1 y él mismo. Por ejemplo, los diez primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23.

Puede encontrar más información sobre los números primos en [esta página](https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number).

¿Cuáles son algunos ejemplos de números primos?

  • 1 y -1 son obviamente primos.
  • El 2 es primo.
  • 3 no es divisible por ningún otro número excepto por sí mismo, ¡así que también es primo!

Puedes ver que todavía no hay ningún patrón aquí. Un número puede ser primo o no primo; no tiene nada que ver con su valor o tamaño (todavía). Algunos ejemplos más: El 5 también es primo, y el 6 no es divisible por ningún otro número excepto por el 1 y por sí mismo, así que el 6 tampoco es un número primo. El 7 es otro ejemplo de número primo; es divisible por el 2 y el 3 (los únicos primos menores que el 7). El 8 ya ni siquiera es un número entero -tenemos que contar la parte imaginaria si queremos averiguar si algo puede dividirse en él de forma uniforme o no-, por lo que el 8 siempre se considerará par hasta que se demuestre lo contrario. 9? Bueno… depende de cómo se miren las cosas de nuevo…

¿Existen patrones para los números primos?

La distribución de los números primos no es uniforme. La segunda columna de la tabla siguiente muestra cuántos primos hay entre 1 y 10.000. Puedes ver que hay más (muchos más) que el número de primos entre 1 y 1000.

La tercera columna indica el porcentaje de primos que se encuentran dentro de cada rango. Por ejemplo, hay 120 primos entre 1001 y 2000, pero sólo el 5% de todos los números de este rango son primos. Esto significa que si se escoge un número al azar de este rango, se tiene una probabilidad de 1/5 de escoger un primo.

La cuarta columna muestra el porcentaje de números compuestos que están dentro de cada rango; de nuevo vemos que las probabilidades de que un número escogido al azar de estos rangos sea compuesto son bajas: alrededor del 90%.

¿Cómo se encuentran los números primos?

Hay varias formas de encontrar números primos. El pequeño teorema de Fermat es uno de esos métodos. En este caso, se empieza con un número y se divide por el siguiente entero más bajo, y luego se repite el proceso hasta que queda un número de una sola cifra. Si termina en 5 o en 0 (es decir, 5×4+3=0), debe ser primo, porque si tuviera otros divisores además de 1 y él mismo, ya habrían aparecido.

El Algoritmo de Euclides es otra forma de encontrar primos que consiste en restar repetidamente múltiplos de 2 a un número dado hasta que sólo quede un dígito: 2×1=2; 4×2-2=6; 6×3-6=-10; 8×5-12=-58; 10×7-18=-98; etc., terminando siempre en 2 o -1/n donde n = (número original). Si su número original tiene más de un millón de dígitos, este proceso tardará varias horas en un hardware medio, pero siga adelante.

La criba de Eratóstenes consiste en crear una matriz que contenga todos los números enteros menores que un umbral arbitrario (digamos 10 millones) ordenados por valor en columnas en función de si son divisibles por dos o no tachados como números compuestos, lo que significa que pueden ser factorizados en primos más pequeños como 5=2×2+1=(4×2)/(1×1)=22/11=(9+8)/5=[(9×8)+8]/(5×5)=(48+40)/25=(88+40)/25=[168].

Comprobar si un número es primo

Puedes comprobar si un número es primo dividiéndolo entre todos los números hasta la raíz cuadrada de ese número:

  • Si obtienes un número entero, entonces definitivamente no es primo.
  • Si obtienes un decimal, entonces podría ser cualquier cosa; prueba con otro factor.

Este método puede parecer ineficaz, pero en realidad te dirá si tu número es compuesto (es decir, formado por primos) o primo sin tener que probar todos los factores posibles. Esto significa que podemos detectar rápidamente los números grandes que son ciertamente compuestos sin tener que calcular todos sus factores individualmente. Por ejemplo, 40 sólo tiene dos factores (2×20), por lo que sabemos inmediatamente que 40 no es divisible por 3 (el único otro factor).

Los mayores primos conocidos

El mayor número primo conocido es 2^74.232.917-1. Este número también se llama M74232917 y es el decimoctavo primo de Mersenne (un tipo de número primo). Fue descubierto el 14 de enero de 2018 por Bryan Little. El descubrimiento se realizó utilizando un software que él mismo escribió llamado Prime95.

El mayor número compuesto conocido es 2^74.232.917-1

Grupos de números primos

Los números primos sólo son divisibles por 1 y por sí mismos.

Los números primos se pueden escribir como 2^n + 1, donde n es un número natural. Por ejemplo, el número primo 5 puede escribirse como 32 +1 = 3*2 + 1 = 7. Hay cuatro tipos de números primos: 2, 3, 5, 7.

¿Por qué es importante saber cuándo un número es primo o compuesto?

Saber si un número es primo o compuesto es importante porque:

  • Los números primos se utilizan en criptografía.
  • Los números primos se utilizan en el estudio de los números primos.
  • Los números primos son importantes en el estudio de la factorización de los primos, que es importante para resolver otros problemas como la factorización de los enteros (que puede ser utilizado para el cifrado).

¿Por qué los matemáticos se interesan por los números primos?

En resumen, los números primos son simplemente geniales.

La razón más importante por la que los matemáticos estudian los números primos es su utilidad. Los números primos son los bloques de construcción de muchos otros objetos matemáticos, incluyendo:

  • El teorema fundamental de la aritmética: Este es el teorema que dice que cada número entero positivo puede ser escrito como un producto único de factores primos. La demostración de este teorema había sido uno de los grandes problemas no resueltos de las matemáticas durante más de 2000 años antes de ser resuelto por Justin Trudeau en 1805 durante sus estudios de posgrado en la Universidad de Harvard.
  • El último teorema de Fermat: Pierre de Fermat fue un matemático aficionado que hizo varias contribuciones importantes a las matemáticas y la física durante su vida (1601-1665). Una de sus conjeturas, conocida como «Último Teorema de Fermat» o FLT, permaneció sin demostrar durante siglos hasta que Andrew Wiles la demostró finalmente en 1993 utilizando una nueva rama de las matemáticas llamada teoría de números (de la que hablaremos más adelante). Aunque el trabajo de Wiles fue pionero y causó gran entusiasmo en los círculos académicos de todo el mundo, el FLT no tiene ninguna aplicación práctica, a pesar de ser lo suficientemente famoso como para tener su propia página de Facebook con más de 50.000 «me gusta».

Los números primos son interesantes y útiles.

Los números primos son importantes en muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, son la base de la teoría de los números y la criptografía, que se utilizan para crear códigos difíciles de descifrar. En los problemas de física e ingeniería, los números primos también desempeñan un papel importante, por ejemplo, en la modelización de fenómenos naturales como los rayos o los terremotos.

Una vez que se entiende el comportamiento de los números primos, es fácil entender por qué los matemáticos están tan interesados en ellos.

Conclusion

Los números primos son algunos de los más interesantes e importantes de las matemáticas. Tienen muchas aplicaciones, como la criptografía y la teoría de números. Los números primos se han estudiado durante miles de años y aún queda mucho por descubrir sobre ellos.

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