¿Qué dice el teorema de Godel? ¿Demuestra que la verdad es inalcanzable?

He tenido muchas conversaciones sobre el teorema de Godel. «¿Era ateo, como Einstein?» «¿Sólo creía que la verdad existía en las matemáticas, o era algo más sofisticado?» «¿En qué consiste exactamente su lema y por qué es significativo?» Todas estas son preguntas que me he planteado y que luego he preguntado a mis amigos mientras tomaba una pinta (o un té helado…) de cerveza. Así que me propuse averiguar qué se puede obtener exactamente del teorema (complejo) de Godel.

El teorema de Godel es una prueba matemática que afirma que ningún sistema formal de lógica puede ser a la vez completo y coherente. En otras palabras, demuestra que la verdad es inalcanzable.

El teorema de Godel no dice que la verdad sea inalcanzable. Simplemente afirma que cualquier sistema de lógica no puede ser completo y consistente a la vez. Por tanto, si se asume la existencia de la completitud godeliana, se deduce que hay algunas verdades que no podemos conocer. Pero esto no significa que no haya verdades, sino que no podemos conocerlas todas.

El teorema de incompletitud se ha utilizado para apoyar varios argumentos filosóficos, entre ellos muchas versiones del escepticismo (la creencia de que no podemos conocer nada), pero también algunas formas de antiescepticismo (la creencia de que se pueden conocer algunas cosas). El ejemplo más famoso de este último argumento es la noción de falsabilidad de Karl Popper: cualquier afirmación puede ser cuestionada encontrando una excepción a la misma. Por extensión, si no se puede encontrar ninguna excepción, entonces debe ser verdadera, porque si hubiera una excepción, ¡alguien la habría encontrado ya!

Lógica y Lenguaje: Godel y Carnap

En Godel and the Foundations of Mathematics, Solomon Feferman retoma el famoso teorema de incompletitud de Kurt Godel como un desafío a las visiones convencionales de la lógica, el lenguaje y el significado. Describe el argumento de Gödel como una respuesta a la afirmación de que las matemáticas son un sistema formal que puede representarse mediante un número finito de reglas simbólicas. Godel demostró que este punto de vista era insostenible porque hay afirmaciones que no se pueden demostrar ni refutar en ningún sistema de este tipo. Feferman explica cómo el argumento de Godel condujo al «derrocamiento de la lógica clásica» y al desarrollo de nuevos sistemas basados en la lógica intuicionista.

En Carnap’s Logical Syntax of Language, Quine argumenta contra el ideal de la forma lógica en favor de una teoría pragmática del significado basada en la semántica de los mundos posibles. En este libro, Quine desarrolla su explicación «verificacionista» del significado proporcionando una explicación de la cuantificación, incluyendo un análisis del cuantificador existencial según el cual no denota un objeto sino que indica que hay al menos un objeto que satisface alguna condición.

¿Qué es una paradoja?

Una paradoja es una afirmación que, a pesar de un razonamiento aparentemente sólido a partir de premisas verdaderas, conduce a una conclusión aparentemente autocontradictoria o lógicamente inaceptable. La palabra «paradoja» deriva del griego para (al lado/más allá) y doxa (opinión), es decir, algo que parece correcto pero que en realidad es erróneo (doxa denota la expresión verbal de una opinión equivocada).

El término «paradoja» se ha utilizado para describir afirmaciones que pueden ser verdaderas y falsas al mismo tiempo, como la observación de Schopenhauer: «En ciertos casos, una mentira saca a la luz más verdad que una verdad».

También puede referirse a afirmaciones diseñadas intencionadamente para engañar con el fin de crear confusión o hacer que un argumento parezca más convincente de lo que es. Algunos ejemplos son:

La expresión «¡No puedo creer que no sea mantequilla!» – Una parodia de los productos de margarina que se venden en los supermercados y que se comercializan como sustitutos de la mantequilla. El nombre del producto pretende dar a entender que el producto es como la mantequilla, aunque en realidad no lo sea.

El teorema de Godel

El teorema de Godel es un resultado de la lógica que afirma que en cualquier sistema formal de aritmética suficientemente fuerte, hay afirmaciones que se puede saber que son verdaderas, pero que no se pueden demostrar dentro del sistema. Esto significa que si el sistema es consistente (no contiene sus propias contradicciones), entonces habrá algunas verdades que nunca podrá demostrar.

El teorema de Godel se utiliza a menudo como introducción a la idea del infinito matemático; en concreto, el hecho de que siempre hay más números naturales que los números naturales que se han nombrado. Esto significa que nunca podemos «terminar» de contar: siempre podemos nombrar otro número, ¡aunque ya los hayamos nombrado todos!

La verdad y la prueba

El teorema de incompletitud de Godel se enuncia a menudo como «hay enunciados verdaderos en un lenguaje formal que no se pueden demostrar». Esto no es del todo correcto, porque la verdad de un enunciado no implica su demostrabilidad. Sin embargo, hay enunciados que son verdaderos pero que no se pueden demostrar.

Por ejemplo, consideremos la frase «esta frase no es demostrable», donde la palabra «demostrable» significa «puede derivarse formalmente de los axiomas». Se puede demostrar que esta frase es verdadera utilizando el método de diagonalización de Godel. Sin embargo, no se puede derivar de los axiomas utilizando sólo las reglas lógicas de inferencia. Esto significa que no hay prueba de esta sentencia dentro de su sistema de axiomas, aunque sea verdadera.

La existencia de tales sentencias fue demostrada por Kurt Gödel (1931) en su famoso Teorema de Incompletitud: Una teoría formal consistente suficientemente fuerte no puede demostrar su propia consistencia. Esto significa que si se tiene una teoría formal consistente, entonces existe una fórmula $P$ que puede interpretarse como «Esta fórmula $P$ no puede probarse dentro de esta teoría formal». Si pudieras probar $P$, entonces tu teoría formal se volvería inconsistente y, por tanto, no sería lo suficientemente potente como para probar $P$.

¿Podemos demostrar el Teorema de Godel?

 

Creo que la respuesta es no, pero no es por falta de intento.

Godel propuso su teorema en 1931. Se basó en trabajos anteriores de Kurt Goedel y David Hilbert que se habían realizado a finales del siglo XIX y principios del XX. Pero no fue hasta 1931 cuando escribió su prueba de que nunca podría haber un sistema completo que demostrara todas las afirmaciones verdaderas de todas las matemáticas (o incluso de cualquier rama particular de las matemáticas).

Desde entonces, muchos matemáticos han intentado demostrar o refutar el Teorema de Godel, pero ninguno lo ha conseguido todavía. Pero eso no significa que no haya esperanza. Hay varias formas de plantear el problema de manera que sea posible demostrar o refutar el Teorema de Godel con ellas:

La «Paradoja del Mentiroso» nos muestra una forma de refutar el Teorema de Godel. Si podemos demostrar que existen enunciados que no pueden probarse como verdaderos o falsos («Paradojas del Mentiroso»), entonces podríamos ser capaces de demostrar que hay algo en esos enunciados que los hace diferentes de otros enunciados de las matemáticas (como los mencionados anteriormente).

Bibliografía

Kurt Godel. «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines» (1931).

Ken Anderson, «Computing Machinery and Intelligence» (1967).

Alan Turing. «Computing Machinery and Intelligence» (1950).

 

La importancia de un lenguaje matemático es la perspectiva. Los matemáticos pueden hablar de los problemas y de las formas de resolverlos de forma clara y concisa. Un lenguaje matemático puede ayudar a definir el propio pensamiento

Godel no dijo que la verdad sea inalcanzable; dijo que la verdad puede ser inalcanzable en cualquier sistema matemático dado, dependiendo de los axiomas.

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