Python para Bioinformática: Suma de ángulos: Ptolomeo

Los teoremas de la «suma de ángulos» son increíblemente útiles en cálculo. Estas son fórmulas para el seno (o coseno) de la suma (o diferencia) de dos ángulos. Hay una serie de derivaciones, de las cuales mi favorita es una prueba sin palabras (aquí).

Recientemente, me interesé en el teorema de ptolomeoque se ilustra en este gráfico:

Hay demostraciones basadas en triángulos semejantes (un poco complicadas), y una basada en áreas con un truco maravilloso en el medio. Otra excelente prueba sin palabras para eso está aquí.

Resulta que hay pruebas fáciles para los teoremas trigonométricos a partir del teorema de Ptolomeo, y quiero verlas aquí. El primero es para sin s+t:

La prueba depende de los siguientes detalles. Primero, la línea negra en el medio es un diámetro del círculo, escalado para tener una longitud de 1. Como resultado, los dos triángulos son triángulos rectángulos, lo que justifica las etiquetas en los lados. Ptolomeo dice que hay que multiplicar dos pares de lados opuestos y sumarlos.

Además, la línea punteada es la cuerda de la suma de los dos ángulos, y su longitud es: 2R sen s+t = L. Pero 2R se escala a 1, así que finalmente tenemos la fórmula para el seno de s+ t. Básicamente se escribe solo.

La segunda es por la diferencia. Esto es adicional, ya que la forma más fácil de pasar de la suma a la diferencia es usar el hecho de que el coseno es una función par y el seno es impar: sin(x) = -sin(-x).

Si está tratando de configurar esto usted mismo, una gran pista es que, dado que la fórmula tiene un signo menos (sin s cos t menos sin t cos s), el término sin st va a ser uno de los lados, y naturalmente, es el lado opuesto al diámetro.

En cuanto a las fórmulas del coseno, todavía hay otro truco. Todavía tendremos que la línea punteada será el seno de algún ángulo θ, ¡pero también es el coseno del ángulo que es complementario a θ! Y nuevamente, el coseno s+t es uno de los lados.

El último no es tan bonito (no sé si hay otros, este se me ocurrió a mí). La parte difícil es escribir una expresión para el ángulo marcado con el punto negro, pero su complemento es solo st.

Todavía recomiendo lo siguiente como la mejor manera de volver a derivar las fórmulas si está atascado:

Y finalmente, esta es la idea de cómo llevar a cabo la demostración sin palabras del teorema de Ptolomeo. Corta la figura original solo una diagonal, coloca los dos triángulos uno al lado del otro, vuelve a escalar, verifica todos los ángulos y luego encuentra el triángulo correspondiente para completar el paralelogramo, a partir de la figura original.

Para obtener más detalles, puede consultar mis libros sobre geometría en github.

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