Estaba trabajando en una publicación sobre el cálculo de Arquímedes para pi, y vi una referencia que decía que Ptolomeo usó 377/120 como una aproximación racional al valor.
Y luego también leí que 355/113 es una aproximación aún mejor, y se le atribuye al matemático chino zu chongzhi (siglo V d.C.).
Hay un artículo completo en wikipedia sobre esto. sujeto. Recuerde que Arquímedes estableció límites superior e inferior en pi de 22/7 (3,14285714) y 3-10/71 (3,14084507)
En forma decimal, el valor de Ptolomeo es
377/120 = 3,14166…
Esto es correcto hasta el tercer dígito después del punto decimal. El error es 7401 partes en diez millones. Y realmente, es lo suficientemente preciso para cualquier trabajo práctico.
Me pareció curioso que el otro valor tenga un denominador más pequeño, pero no lo encontró Ptolomeo, y sin embargo es mejor, mucho mejor.
355/113 = 3,14159292
Esto es correcto hasta el sexto dígito después del punto decimal. El error es de 27 partes en diez millones. Eso es unas 275 veces mejor que el valor de Ptolomeo.
Hay un texto de Pi: A Source Book, de Berggren et al. en línea. En un capítulo de Tam Lay-Young y And Tian-Se, encontré un cálculo atribuido a Liu Hui (siglo III EC).
El cálculo no parece ser ningún tipo de avance técnico, es solo un uso básico del teorema de Pitágoras. (Sin embargo, hay algunos valores dados que no veo de dónde vienen, así que tal vez me esté perdiendo algo).
Comience con un círculo de radio 10 e inscriba un hexágono. Se muestra uno de los seis triángulos equiláteros.
CC = 5,17638.
Repita hasta que esté satisfecho. Lleva la cuenta de n, el número total de lados.
Al final, calcule el área del polígono como 1/2 por el radio por n por la cuerda. Como r = 10, el área del círculo es pi por 100.
La estimación basada en el dodecágono es 6 x 10 x 5,17638 dividido por 100 = 3,10582854.
Al final, obtienen 314-64/625, 314-169/625 como límites en pi (no me queda claro cómo se obtuvo un límite superior).
En decimal, esto significa que 3,141024 < pi < 3,142704, que es ligeramente mejor que Arquímedes.
Aparentemente, Zu Chongzhi (siglo V EC) fue más lejos, lo suficientemente lejos como para reconocer que 355/113 coincide muy bien con una estimación mejorada.
El artículo de wikipedia sobre zu chongzhi afirma que él es “más notable para el cálculo Pi como entre 3.1415926 y 3.1415927″. Afirma que sus trabajos muestran que calculó pi a 6 dígitos usando un “12,288-gon”.
Eso se obtiene al duplicar un hexágono 9 veces. Usando Python el otro día, también obtuvimos el sexto dígito (después del punto decimal) en la ronda 9 de la duplicación del hexágono.
La respuesta de cómo Ptolomeo lo pasó por alto parece ser que no conocía el verdadero valor de pi lo suficientemente bien como para creer que 355/113 era mejor que 377/120. La otra posibilidad es que alguna lógica lo condujo a su valor y no verificó sistemáticamente los valores cercanos.
Escribí un programa en Python para encontrar aproximaciones racionales a números (irracionales). la esencia es aquí.
355/113 es un éxito espectacular.
Ningún otro valor se acerca durante mucho tiempo. Aparte de 355/113, cualquier otra fracción que se convierte en una mejor aproximación es una mejora muy gradual de lo que vino antes. La primera fracción que es una mejor aproximación para pi que 355/113 es 52163/16604.
Un corte de Dedekind tiene que aterrizar en alguna parte. Supongo que 355/113 aterriza particularmente cerca de pi por accidente.
Aquí hay una gráfica de los errores. El eje x es el denominador. El logaritmo del valor absoluto de la diferencia de pi se traza para todas las fracciones más cercanas a pi para un denominador dado y también en términos mínimos. (esencia). Puede ver lo especial que es el 355/113 y permanece así (no se muestra).
Escribí las matemáticas para los métodos de área y perímetro para estimar pi y lo comparé con Arquímedes (aquí).
