El teorema de Ptolomeo dice que para un cuadrilátero cíclico, el producto de los lados opuestos, sumados, es igual al producto de las diagonales:
AB CD + BC AD = AC BD
Prueba. adaptado de wikipedia (aquí).
Sea el ángulo s (punto rojo) subtendiendo el arco AB y el ángulo t (punto negro) subtendiendo el arco CD. Entonces el ángulo central DPC = s + t y tiene sen s + t. El otro ángulo central APD tiene el mismo seno, ya que es suplementario de s + t.
Sean las componentes de las diagonales CA = q + s y BD = p + r.
El doble de las áreas de los cuatro triángulos pequeños será entonces igual a
(pq + qr + rs + sp) sen s + t
El álgebra simple mostrará que
(pq + qr + rs + sp) = (p + r)(q + s) = AC BD
El producto de las diagonales por el seno de cualquiera de los ángulos centrales es igual al doble del área del cuadrilátero. Estamos en algo.
Ahora, la gran idea. Mover D a D’, de modo que AD’ = CD y CD’ = AD.
Los triángulos ACD y ACD’ son congruentes, por SSS, por lo que tienen la misma área.
Por tanto, el área de ABCD es igual al área de ABCD’.
Algunos de los ángulos cambian con los arcos. En particular, el ángulo t (punto negro) ahora subtiende el arco AD’. Como resultado, s + t es la medida de todo el ángulo en el vértice C. Todo el ángulo en el vértice A es suplementario, y el seno de todo el ángulo en el vértice A es igual al de C.
Entonces el doble del area del triangulo ABD’ es AB AD’ sen s + ty el doble de BCD’ es BC CD’ sen s + t. Suma estas dos áreas, equiparalas con el resultado anterior y factoriza el término común pecado s + t:
AC BD = AB AD’ + BC CD’
Pero AD’ = CD y CD’ = AD entonces
AC BD = AB CD + BC AD
Este es el teorema de Ptolomeo.
Aquí hay un resultado del teorema. Dibuja un triángulo equilátero y su circunferencia circunscrita. Elija cualquier otro punto P en el círculo y conéctelo a los vértices como se muestra.
Ptolomeo dice que
ps = qs + rs
p = q + r
