Python para bioinformática: cálculo de fracciones continuas

He estado jugando con fracciones continuas. La proporción áurea es uno de los ejemplos más simples.

Sustituyendo todo el lado derecho por el denominador de la derecha:

Y aquí está sqrt(3) para otro. Considero que el símbolo de raíz cuadrada es un poco una distracción, así que sustituí x por sqrt (3).

La notación estándar para esto es [1;(1,2)]. Aquí está la derivación para este ejemplo:

En este punto, el truco es sumar y restar 1 en el denominador del lado derecho

Pero (x – 1)/2 = 1/(x + 1), y después de otra ronda de sumar y restar tenemos

Terminamos porque x – 1 aparece en ambos lados.

Luego, para evaluarlo, debemos cortar la continuación en alguna parte. Para este ejemplo, hay dos cadenas diferentes de aproximaciones racionales a sqrt(3). Acá hay uno

Creo que finalmente entiendo cómo funciona la derivación. He hecho una serie de ejemplos con hasta 8 términos en la parte continua. Este recurso fue muy útil, ya que tiene las respuestas correctas.

También escribí un script Python simple para evaluar una fracción continua basada en los coeficientes, que hace los cálculos algo tediosos.

Escribí esto como un pdf en GitHub, y el script es una esencia aquí.

Y, por último, solo tenga en cuenta que la existencia de una fracción continua que continúa para siempre es una prueba de irracionalidad. Todos los números enteros que no son cuadrados perfectos son irracionales y todos tienen representaciones de fracciones continuas.

[Sorry for the large image sizes.  They are screenshots from my pdf, which blogger insists on making giant size even when «small».  I know, I know, MathJax, but … ].

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