Pentágonos, otra vez

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Han pasado algunos años, pero eché otro vistazo a los pentágonos. Es divertido ver la conexión entre φ, la “proporción áurea” y los triángulos internos en un pentágono.

Pentagonos otra vez

Ante todo. la figura tiene simetría rotacional quíntuple.

Los ángulos marcados en el panel de la izquierda son iguales según el teorema del triángulo isósceles, por lo que los ángulos a ambos lados del ángulo central en cada vértice son iguales.

Luego hacemos algunas sumas: 3 negro + 2 magenta = 180 = 4 magenta + 1 negro. Concluimos que negro = magenta. Entonces el ángulo del vértice se divide en 3 partes iguales.

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El pequeño triángulo en la parte superior es isósceles, porque los triángulos de cada lado son congruentes entre sí (por simetría rotacional o ASA), por lo que ambos lados son iguales. Ahora, vemos que la cuerda horizontal es paralela al lado inferior, por ángulos interiores alternos. ¡Tenemos un montón de rombos!

Hay dos tipos de triángulos semejantes: uno alto y delgado, el otro bajo y rechoncho.

En el panel de la derecha, se muestra un triángulo del segundo tipo en rojo claro. Tiene lados iguales de longitud x y una base de longitud x + 1. El rojo tiene lados de longitud 1 y una base de longitud x. Formamos las razones iguales: (x+1) /x = x.

También se pueden usar los triángulos altos y delgados.

Esto permite que la base tenga una longitud de 1. Entonces, los lados del triángulo alto y delgado en el medio son x. El triángulo pequeño, alto y delgado en la parte superior tiene lados x – 1 y base x – 2 (x – 1), por lo que las proporciones de triángulos similares son x = (x – 1)/(-x + 2), que se simplifica a la misma expresión que antes.

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El ángulo del vértice de un triángulo alto y delgado es igual a 1/3 del ángulo interior del pentágono, que es 108/3 = 36.
Encontraremos una expresión para el seno de 36°, y esto nos dará otra forma de calcular la longitud de los lados del pentágono en términos de las cuerdas.
Empezamos trabajando con 18°, porque 90/18 = 5 exactamente. El truco es que (usando θ para 18°): 5θ = 90° entonces 2θ = 90 – 3θ. Tomando el seno de ambos lados y luego convirtiéndolo al ángulo complementario de la derecha, tenemos sen 2θ = cos 3θ.
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También se puede utilizar la fórmula de De Moivre y tomar la parte real.
[Since φ – 1 = 1/φ, the above result can be written more simply, but it makes the calculation below more complicated].
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Hay algo mas. Si uno dibuja los ángulos centrales del pentágono, entonces el triángulo que contiene un ángulo central de 72° y una base de la longitud de un lado tiene un ángulo medio de 36°.

Así que la mitad de la longitud del lado es el seno de 36°, que encontramos arriba. El círculo que contiene los cinco vértices de un pentágono de lado 1 tiene un radio de r = 1/2 sin36° = 1/sqrt(3 – φ).

El pdf del escrito es aquí(Látex un nivel más abajo).

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