Operaciones Matemáticas Básicas – Exponentes

Los exponentes comprenden un jugoso bocado de material básico de operaciones matemáticas. Los exponentes nos permiten elevar números, variables e incluso expresiones a potencias, logrando así multiplicaciones repetidas. El exponente siempre presente en todo tipo de problemas matemáticos requiere que el estudiante esté completamente familiarizado con sus características y propiedades. Aquí observamos las leyes, cuyo conocimiento permitirá a cualquier estudiante dominar este tema.

En la expresión 3^2, que se lee “3 al cuadrado” o “3 elevado a la segunda potencia”, 3 es el base y 2 es la potencia o exponente. El exponente nos dice cuántas veces usar la base como factor. Lo mismo se aplica a las variables y expresiones variables. En x^3, esto significa x*x*x. En (x + 1)^2, esto significa (x + 1)*(x + 1). Los exponentes son omnipresentes en álgebra y, de hecho, en todas las matemáticas, y comprender sus propiedades y cómo trabajar con ellos es extremadamente importante. El dominio de los exponentes requiere que el estudiante esté familiarizado con algunas leyes y propiedades básicas.

Ley de productos

Al multiplicar expresiones que involucran la misma base a potencias diferentes o iguales, simplemente escribe la base a la suma de las potencias. Por ejemplo, (x^3)(x^2) es lo mismo que x^(3 + 2) = x^5. Para ver por qué esto es así, piense en la expresión exponencial como perlas en un collar. En x^3 = x*x*x, tienes tres x (perlas) en la cuerda. En x^2, tienes dos perlas. Así, en el producto tienes cinco perlas, o x^5.

Ley del cociente

Cuando divides expresiones que tienen la misma base, simplemente restas las potencias. Así en (x^4)/(x^2) = x^(4-2) = x^2. Por qué esto es así depende de la propiedad de cancelación de los números reales. Esta propiedad dice que cuando el mismo número o variable aparece tanto en el numerador como en el denominador de una fracción, entonces este término puede cancelarse. Veamos un ejemplo numérico para dejar esto completamente claro. Toma (5*4)/4. Dado que 4 aparece tanto en la parte superior como en la inferior de esta expresión, podemos matarlo — bueno, no matar, no queremos ponernos violentos, pero sabes a lo que me refiero — obtener 5. Ahora multipliquemos y divide para ver si esto concuerda con nuestra respuesta: (5*4)/4 = 20/4 = 5. Comprueba. Por lo tanto, esta propiedad de cancelación se cumple. En una expresión como (y^5)/(y^3), esto es (y*y*y*y*y)/(y*y*y), si desarrollamos. Como tenemos 3 y en el denominador, podemos usarlos para cancelar 3 y en el numerador para obtener y^2. Esto concuerda con y^(5-3) = y^2.

Ley de la potencia de una potencia

En una expresión como (x^4)^3, tenemos lo que se conoce como poder a un poder. La potencia de una ley de potencia establece que simplificamos multiplicando las potencias juntas. Así (x^4)^3 = x^(4*3) = x^12. Si piensas por qué es así, observa que la base de esta expresión es x^4. El exponente 3 nos dice que usemos esta base 3 veces. Así obtendríamos (x^4)*(x^4)*(x^4). Ahora vemos esto como un producto de la misma base a la misma potencia y, por lo tanto, podemos usar nuestra primera propiedad para obtener x^(4 + 4+ 4) = x^12.

Propiedad distributiva

Esta propiedad nos dice cómo simplificar una expresión como (x^3*y^2)^3. Para simplificar esto, distribuimos la potencia 3 afuera de los paréntesis adentro, multiplicando cada potencia para obtener x^(3*3)*y^(2*3) = x^9*y^6. Para entender por qué esto es así, observe que la base en la expresión original es x^3*y^2. Los 3 paréntesis exteriores nos dicen que multipliquemos esta base por sí misma 3 veces. Cuando haces eso y luego reorganizas la expresión usando las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación, puedes aplicar la primera propiedad para obtener la respuesta.

Propiedad del exponente cero

Cualquier número o variable—excepto 0—a la potencia 0 siempre es 1. Así 2^0 = 1; x^0 = 1; (x + 1)^0 = 1. Para ver por qué esto es así, consideremos la expresión (x^3)/(x^3). Esto es claramente igual a 1, ya que cualquier número (excepto 0) o expresión sobre sí mismo da este resultado. Usando nuestra propiedad del cociente, vemos que esto es igual a x^(3 – 3) = x^0. Como ambas expresiones deben dar el mismo resultado, obtenemos que x^0 = 1.

Propiedad del exponente negativo

Cuando elevamos un número o variable a un entero negativo, terminamos con el recíproco. Eso es 3^(-2) = 1/(3^2). Para ver por qué esto es así, consideremos la expresión (3^2)/(3^4). Si expandimos esto, obtenemos (3*3)/(3*3*3*3). Usando la propiedad de cancelación, obtenemos 1/(3*3) = 1/(3^2). Usando la propiedad del cociente tenemos que (3^2)/(3^4) = 3^(2 – 4) = 3^(-2). Como ambas expresiones deben ser iguales, tenemos que 3^(-2) = 1/(3^2).

Comprender estas seis propiedades de los exponentes les dará a los estudiantes la base sólida que necesitan para abordar todo tipo de problemas de preálgebra, álgebra e incluso cálculo. Muchas veces, los obstáculos de un estudiante se pueden eliminar con la excavadora de conceptos fundamentales. Estudia estas propiedades y apréndelas. Entonces estará en el camino hacia el dominio de las matemáticas.