¿En matemáticas hay «números perfectos»?

Hace tiempo que no escribo nada de matemáticas en serio, y pensé que esta sería una buena oportunidad para volver a mojarme los pies. Así que aquí hay algunos datos sobre los números perfectos que pueden resultar interesantes:

Sí, hay números perfectos.

En matemáticas, un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios, es decir, la suma de sus divisores positivos sin incluirse a sí mismo. Los primeros números perfectos son el 6, el 28, el 496 y el 8128.

Los números perfectos han fascinado a los matemáticos durante siglos porque parecen ser raros y misteriosos. Los antiguos griegos pensaban que todos los números pares eran perfectos (ya que se pueden dividir por 2). Esto se desmintió en 1844, cuando Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró que existen infinitos números perfectos pares. De hecho, ¡hay infinitos números perfectos!

Hay infinitamente muchos de ellos.

Si piensas en el infinito como un número, es el más grande que existe. El infinito no tiene fin ni principio (es infinito), pero sigue existiendo. Puede parecer un concepto abstracto, pero los matemáticos han encontrado usos para él en todo, desde la estadística hasta la física cuántica.

De hecho, ¡hay infinitos números perfectos! Esto significa que nunca se van a agotar en un futuro próximo, así que si encuentras el correcto, puedes tener todos los números perfectos que quieras.

El primero es el 6.

El primero es el 6.

El 6 es el número perfecto más pequeño, lo que significa que no tiene más factores que el 1 y él mismo. ¿Qué significa esto? Pues bien, imagina que tienes un racimo de plátanos y quieres repartirlos equitativamente entre cuatro personas. Puedes dar a cada persona un plátano o dos plátanos -que serían perfectamente divisibles por 4- pero no puedes dar a alguien 3 plátanos porque no hay forma de dividir 3 uniformemente entre 4 (4*1=4, 4*2=8 pero ahora nos queda 1).

El 3 también es un factor de 6 (3 * 2 = 6), así que no hay manera de que alguien reciba 3 plátanos sin quitarle a otro que ya ha recibido dos. ¿Y si te dijera que el 5 es otro factor? Si hiciéramos lo posible por distribuir esos cinco plátanos restantes de forma equitativa entre las cinco personas restantes sin que sobren piezas, entonces acabaríamos con tres de sobra de nuevo porque 5 * 2 = 10 y al dividirlo entre 5, ¡resultaría en dos piezas de sobra una vez más! Podríamos empezar a considerar la posibilidad de quitarles algunas cosas a otras personas -quizás no les importe perder un plátano ya que les tocó uno antes- pero entonces nos encontramos con un problema…

La segunda es 28.

El segundo número perfecto es el 28.

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

No es sólo que sea igual a la suma de sus divisores, sino que el menor divisor primo de 28 es el 2, lo que significa que ningún número menor puede ser dividido por él sin que quede un resto (en otras palabras, el 2 es un «divisor» de 28). ¡Eso también lo hace perfecto!

¿Qué significa esto para la clase de matemáticas? Si te gustan mucho las matemáticas y quieres entender algo más que lo que dice tu libro de texto, ¡juega con estos números! Pueden ayudarte a aprender más sobre por qué los números perfectos son tan especiales.

La tercera es 496.

496 = 2^2 * 3^2. Como tal, tiene cuatro divisores: 1, 2, 4 y 8.

La suma de sus divisores es el propio 496.

La cuarta es 8128.

El 4 es efectivamente un número perfecto. La suma de sus divisores (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) es igual a 4 x 41 = 8128.

De hecho, hay relativamente pocos números perfectos; sólo se conocen 6, siendo el primero el propio 6 y los otros 28, 496 y 8128.

La quinta es 33550336.

El quinto número perfecto, 33550336, tiene un número de factores que es exactamente igual a su número de divisores. El número de factores es el mismo que el número de divisores.

El quinto número perfecto: 33550336 = [2^8] x 3^4 x 7^2 x 11^1

Hay ocho 2s en esta secuencia: 22, 24, 26, 28…; cuatro 3s: 33, 35…; dos 7s: 77 y 87; y un 11 (111). En total, son 41 números (no pensaste que serían sólo 40, ¿verdad?). Ahora suma 1 a cada uno: 42 + 43 + 44 + 45 + 46… Ahora deberías ver algo sorprendente: ¡la suma de todos estos términos es igual a 33550336! ¿Cómo es posible? Resulta que, además de ser números primos, todos tienen algo en común: son números enteros sin cuadrado (como el 25). Esto significa que ninguna potencia mayor que 1 aparece en ningún lugar dentro de ellos.*

Un número n es perfecto si la suma de sus divisores (sin contar n) suman el propio n.

En matemáticas, un número n es perfecto si la suma de sus divisores (sin contar n) suma el propio n. Por ejemplo, el 6 es un número perfecto porque 1+2+3=6.

La suma de los divisores de un número se llama función divisora y se puede expresar como d(n)=d(1)+d(2)+…+d(n). Si d(n) = n para todos los valores suficientemente grandes, ese valor se llama número perfecto.

Los cuatro primeros números perfectos son 6, 28, 496 y 8128.

Si te ha resultado fácil, puede que tengas lo que hay que tener para ser matemático.

Si te ha resultado fácil, puede que tengas lo que hay que tener para ser matemático. La próxima vez, intenta hacer algo de lo siguiente:

  • Toma un número cualquiera y trata de encontrar sus divisores. ¿Puedes hacerlo? ¿Cuánto tiempo te lleva? ¿Qué ocurre cuando el número es mayor que 100?
  • Ahora intenta dividir por 2 cada uno de estos números. ¿Puedes hacerlo rápidamente, sin usar una calculadora? ¿Y si divides entre 3, 4, 5 o 6?

Conclusión

Entonces, ¿los números tienen que ser perfectos para serlo? No hay una respuesta sencilla. Pero si te gustan las matemáticas, merece la pena pensar en ello.

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