La biografía de David Hilbert analiza un debate sobre si fue un paso en falso intelectual defender el avance del Teorema de Pappus de 2000 años al estado de un Axioma. Este problema es notable desde varias perspectivas, una de las cuales es su propuesta de 1920 que establece el Programa Hilbert de formular matemáticas y/o geometría sobre una base más sólida y completa. lógico fundamento conforme a ‘principios metamatemáticos’ inclusivamente mayores.
Sin embargo, en ese momento, propuso que esto podría hacerse si: 1. todas las matemáticas se derivan de un completo o correctamente elegido sistema finito de axiomasy 2. este sistema de axiomas es demostrablemente consistente a través de algún medio como su cálculo épsilon. Aunque este formalismo ha tenido una influencia exitosa en relación con el trabajo de Hilbert en álgebra y análisis funcional, no se comprometió de la misma manera con respecto a sus intereses en lógica, así como en física, sin mencionar su axiomatización de la geometría, dado el esbozo cuestión de considerar el teorema de Pappus como un axioma. Del mismo modo, surgió un problema similar cuando Bertrand Russell rechazó la prueba de Cantor de que no había un número cardinal ‘mayor’ y pasó a defender el ‘logicismo’ de su proposición y la de AN Whitehead en Principios matemáticos que todas las matemáticas son, en algún sentido importante, reducibles a la lógica. Pero tanto el apoyo de Hilbert como el de Russell a un sistema matemático axiomatizado de principios definitivos que podría desterrar las incertidumbres teóricas “para siempre” terminaría en fracaso en 1931.
Porque Kurt Gödel demostró que cualquier sistema formal no contradictorio (autoconsistente) lo suficientemente completo como para incluir al menos la aritmética, no podría demostrar (tanto) su integridad (y/o, por el contrario, su consistencia categórica) por medio de sus propios axiomas . Lo que significa que el programa de Hilbert era imposible como se indicó, ya que no hay forma de que el segundo punto se pueda combinar racionalmente con la suposición 1, siempre que el sistema de axiomas sea realmente finito; de lo contrario, debe agregar una serie infinita de nuevos axiomas, comenzando, I supongo, con Pappus! Asimismo, Teorema de incompletitud de Gödel revela que tampoco Principios matemáticos, ni ningún otro sistema consistente de aritmética recursiva, podría decidir si cada proposición, y/o su negación, era demostrable dentro de ese sistema mismo. Sin embargo, más allá del paso en falso de Hilbert con respecto a Pappus, uno debe notar que el propio teorema de Gödel, en un sentido realista, en realidad apoya la idea básica de Hilbert de una visión más profunda, más inclusiva, ‘meta-lógico’ base como un ‘mapeo godeliano‘ que ‘cubre’ todas las matemáticas y la geometría. De hecho, fue el estudiante de Hilbert, Gentzen, quien usó un mapeo de Gödel de ‘órdenes’ de sistemas de números ‘trans-infinitos’ para realmente probar El teorema de Gödel: tan verdaderamente meta-lógicamente valida aritmética ordinaria. En cualquier caso, aunque esta conclusión también se ajusta vagamente a las ideas logísticas de Russell, demuestra de inmediato una gran mejora con respecto a su crítica de la prueba de Cantor para una serie infinita de números cardinales, que, después de todo, es el punto de los argumentos de Cantor en el sentir que algunos ‘axioma de continuidad’ como el de Arquímedes se requiere para generar un campo infinito de números reales. Lo que hace que el paso en falso papiano de Hilbert parezca casi trivial en comparación, ya que me gustaría saber cómo esperaba Russell encontrar algún ‘número cardinal más grande’, así como también cómo esperaba describir axiomáticamente la continuidad para un rango infinito de números o puntos en una línea; es decir, antes, y mucho menos después, ¡cualquier sistema axiomático infinito se convirtió en un problema adicional!
En cualquier caso, si Russell o Hilbert hubieran tomado realmente en serio la navaja de Occam, probablemente ambos se cortarían la garganta con ella antes de revelar sus suposiciones e inconsistencias sesgadas al mundo para ver por la eternidad. Lo que simplemente significa por qué elevar algún teorema demostrable al estado de una suposición axiomática, o introducir su propio sistema inconsistente de suposiciones, cuando claramente es mejor dejar todo como está. Sin embargo, estoy encantado de empuñar esa navaja correctamente para cortar esos íconos un poco póstumamente, como si Dios se los hubiera quitado de las manos suicidas, aunque solo sea para agradecerles recíprocamente por la indulgente oportunidad de mostrarles a todos una vez más por qué. los tontos parecen sesgarse habitualmente como forraje absurdo para nosotros, tontos “menores” o “plebeyos” en alguna jerarquía organizacional exclusiva o “formal”. Es por eso que los más sabios simplemente dicen: cuanto más alto sube el mono al árbol, ¡más expuestos quedan a los que están debajo! (¡¡Pero siempre ten cuidado abajo, antes de que algo te explote el agujero en la cara!!)
En cualquier caso, esto nos lleva de vuelta a otro tema más antiguo, por lo tanto más apremiante, que es conectado directamente con el ‘teorema del hexágono’ de Pappus – como fue generalizado por Blaise Pascal en un descriptivo sección cónicao 6-punto oval,en 1639, cuando apenas tenía 16 años. Naturalmente impresionado por el trabajo de Desargues sobre las cónicas, produjo, como medio de prueba, un breve tratado sobre lo que llamó el “Hexagrama Místico”, tan conocido desde entonces simplemente como teorema de pascual . Que básicamente (como lo define Wikipedia) establece que si un hexágono arbitrario se inscribe en cualquier sección cónica, donde los lados opuestos se extienden hasta que se encuentran, los tres puntos de intersección estarán en una línea recta, llamada ‘Pascal, línea’ de esa configuración.
Aunque esta simple descripción verbalmente es suficiente, podría no transmitir los aspectos más completos y verdaderamente “místicos” que otorgan al teorema y la configuración de Pascal la distinción de ser considerados como la construcción fundamental más central en la geometría proyectiva. Y aunque los diagramas sin duda ayudarían a aclarar las cosas, especialmente las siguientes descripciones, es bastante difícil volver a formatear el contenido de estos artículos a partir del texto del cuaderno preferido para adaptarse a los diferentes formatos de las diversas revistas electrónicas o servicios de distribución de artículos de la web. En cualquier caso, no es una coincidencia que no solo hice de la cónica de Pascal la figura de portada para mi texto que cubre la proyectiva y sus subgeometrías, sino que también incluí un frontispicio de varias cónicas de 6 elementos relevantes para todos, incluida la proyectiva dual de Brianchon a la de Pascal. Entonces, cualquier lector interesado puede ir al cuadro de recursos y obtener al menos la figura de la portada de Pascal, si no el frontispicio.
De todos modos, la figura de la portada del texto ilustra el teorema de Pascal representado en un hexágono simple formado por la inscripción mutua de 6 puntos completos (15 líneas) y 6 líneas completas (15 puntos) que representan las secciones planas respectivas de un 6 líneas completo de seis dimensiones. -en-un-punto y un 6-plano tridimensional completo derivado de la sección recurrente de un 6-punto pentadimensional completo . Esta descripción enfatiza su profundo significado con respecto a abarcar todo el gameto dimensional del ‘axiomas de incidencia’ (antes de ir uno a introducir el conjunto adicional necesario para establecer el sentido y el de la continuidad), comenzando con los de los axiomas más simples dimensionales extensión y 5D cierre, junto con su dual proyectivo de seis líneas en un punto, que luego se secciona hasta las relaciones de incidencia finales correspondientes a seis puntos completos en una línea y seis líneas completas a través de un punto. Del mismo modo, uno puede agregar el espacio de 5 con las dimensiones de 6 líneas para obtener una variedad 11D que sirve como un espacio de cobertura para mapear lo que equivale a un finito proyección de geometría que es a la vez es ambos completos y categóricamente consistente (ya que no se trata de rangos infinitos de puntos o números, no está restringido por el razonamiento de Gödel, pero nuevamente lo respalda). Entonces, por ejemplo, es bastante interesante que JW Hirschfeld señale en su texto sobre grupos proyectivos finitos que no existen seis cónicas en una dimensión superior a once.
Lo que nos lleva al quid de este artículo en lo que se refiere a la matemática física de (súper) cadenay ‘M’ o membranateora – que todava he visto reducido por la hoja de Occam a su esencia en el fundamentos de la geometria, lo que provocó el resumen aquí, comprensible para un segmento más amplio de personas inteligentes. La teoría de supercuerdas se basa en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones o métrica física, que junto con una variedad interna de seis dimensiones (Kauler) (o espacio compacto de Calabi-Yau) para lo que ahora se puede considerar como cuerdas 1D de los 6 -línea-a-punto; formando un total de 10 dimensiones sistema. Pero se hizo evidente en la década de 1980 que era imposible una unificación prometedora de la física dentro de una teoría cuántica gravitacional de supercuerdas, ya que se ramificaban en cinco grupos matemáticos distintos (lo que condujo a la situación en la que una gran cantidad de intelectuales matemáticos, la mayoría con poco interés en la física per se, comenzó a dominar los departamentos de física teórica). Lo que condujo a una segunda ‘revolución de supercuerdas’ a mediados de los 90 cuando Ed Witten concluyó que cada una de las teorías de supercuerdas 10D es un aspecto diferente de lo que originalmente se llamó una sola ‘Teoría de la membrana’ (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Membrane_Theory), cuya totalidad es naturalmente once dimensional y establece interrelaciones entre las diferentes teorías de grupos de supercuerdas descritas por varias ‘dualidades’. Porque así como las cuerdas 1D son más manejables, las extensiones finitas de puntos singulares, los grupos de cuerdas en un plano forman ‘hojas del mundo’ como ‘membranas 2D’ literales, donde estas llamadas ‘branas’ pueden definirse de cualquier dimensión, comenzando con una brana o punto 0.
Entonces, aunque el sistema total puede llamarse correctamente una ‘Membrana del Mundo 11D’, Witten genéricamente prefiere llamarlo ‘teoría M’, donde M puede significar membrana, madre, matemática, matriz, maestro, misterio, magia, o entonces, como Pascal agregaría enérgicamente, ¡Místico! En cualquier caso, hay pocas dudas de que algún día una representación completa de 6 dimensiones de cuerdas 1D compactadas en un espacio-tiempo 5D cumplirá el sueño de Einstein de una teoría física completamente unificada. Pero personalmente estoy mucho menos preocupado por las unificaciones ‘teóricas’ que por una interpretación completa de la física y la cosmología, repleta de una gran cantidad de datos confirmables. Porque he desarrollado el primer sistema adimensional o ‘puro’ de escala (de Planck) que llamo ‘Mumbers’ o ‘números de membrana’; y que cubre precisamente la completo espectro de la física de partículas y del espacio-tiempo. Y aunque no tengo el coeficiente intelectual, la propensión o la paciencia para seguir o dedicarme a las matemáticas superiores con fines teóricos, por otro lado, he probado muchas, pero todavía tengo que encontrar a alguien, físico o matemático, que pueda escribir con éxito un ecuación numérica pura para incluso una relación entre distintos estados físicos. Del mismo modo, la teoría estándar de supercuerdas o M aún no ha hecho ninguna predicción confirmada, o incluso confirmable, no más de lo que, al menos, he visto a alguien señalar los fundamentos geométricos de la teoría M como una sección de 11 dimensiones de Pascal. un doble proyectivo de 5 espacios y un 6D de seis cuerdas en un punto. Entonces, independientemente de mis deficiencias matemáticas, puedo garantizar que no se pueda desarrollar una ‘teoría M unificada de la física’ viable hasta que la comunidad intelectual acepte la tautología meta-lógica de la misteriosa 6-cónica de Pascal que subyace a la base de la geometría, así como la que acompaña a la escala ‘sin dimensiones’ unificada que ya representa un sistema probado que abarca toda la física.
