Datos matemáticos básicos: propiedades de los números reales

Al estudiar álgebra, los estudiantes deben comprender el ámbito en el que se encuentran. Después de todo, uno puede perderse fácilmente entre todas las fórmulas, ecuaciones, variables y simbolismos matemáticos. Los números reales son aquellas entidades que juegan un papel central en el álgebra. Aquí nos fijamos en algunas de las propiedades más básicas y fundamentales para que este tema sea más significativo para el estudiante.

Los números reales, aquellos que comprenden los números enteros, las fracciones y los decimales que no se repiten ni terminan, son los jugadores clave en el álgebra. Cierto, los números complejos — aquellos de la forma un + bital que a y b son números reales y i^2 = -1 — se estudian en álgebra y de hecho tienen aplicaciones importantes en varias ciencias del mundo real, sin embargo, los números reales son los que tienen el papel predominante. Los reales se comportan de manera predecible. Al dominar las propiedades básicas de este conjunto, estará en una posición mucho más sólida para dominar el álgebra.

Propiedad de cierre

El cierre es una propiedad muy importante en matemáticas. Cuando hablamos de conjuntos, el cierre es la propiedad que asegura que cada vez que operamos sobre los elementos del conjunto, obtengamos un miembro del conjunto. En términos sencillos, si tenemos un conjunto de verde manzanas y sumamos dos de ellas, terminamos con un nuevo número de verde manzanas Note que la palabra verde ha sido enfatizada.

Esto es para señalar que no terminamos con rojo manzanas o cualquier otro tipo de manzana. En lo que respecta al conjunto de números reales, esta propiedad establece que cuando sumamos o multiplicamos números reales, terminamos con… sí, un número real. No terminamos con un número que no es real. En concreto, si añadimos a y by ambos a y b son números reales, entonces la suma a + b también es un número real.

Propiedades conmutativas

El conjunto de los números reales también es conmutativo en las operaciones de suma y multiplicación. La conmutatividad implica que el orden de realizar la operación sobre los dos números reales a y b No importa. Por ejemplo, 3 + 4 = 4 + 3; 5×8 = 8×5. Cabe señalar que la división y la resta no son conmutativas, como por ejemplo 3 – 1 no es lo mismo que 1 – 3.

Propiedades asociativas

Al realizar la operación de suma o multiplicación sobre grupos de tres números, podemos agrupar los números como queramos y aun así obtener el mismo resultado. Por ejemplo, (7 + 4) + 5 = 7 + (4 +5); 3x(4×7) = (3×4)x7.

Propiedad de identidad

El conjunto de los números reales tiene dos identidad elementos, uno para la suma y otro para la multiplicación. Estos elementos son 0 y 1, respectivamente. Cero es la identidad para la operación de suma y 1 para la multiplicación. Estos números se llaman identidades porque cuando se operan con otros números reales, los valores de estos últimos permanecen sin cambios. Por ejemplo 0 + 6 = 6 + 0 = 6. Aquí 6 no ha cambiado de valor o perdido su identidad. En 8×1 = 1×8 = 8, 8 no ha cambiado de valor ni ha perdido su identidad.

Propiedades inversas

Completamente análogo a los dos elementos de identidad, los números reales tienen dos elementos inversos. Para la suma, el elemento inverso es el negativo del número dado. Así, el inverso aditivo de 8 es -8. Note que cuando sumamos un número a su inverso, como en 8 + -8, siempre obtenemos 0, el identidad por adición. Para la multiplicación, el elemento inverso es el recíproco. Por lo tanto, el inverso multiplicativo de 2 es 1/2. Tenga en cuenta que el único número que no tiene un inverso multiplicativo es 0, ya que no se permite la división por 0. Note también, que un número por su recíproco como en 2(1/2) siempre produce 1, el identidad para la multiplicación.

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva nos permite multiplicar un número real encima la suma de otros dos, como en 2x(2 + 5) para obtener 2×2 + 2×5. Esta propiedad es muy poderosa y muy importante de entender. Podemos hacer multiplicaciones relámpago con esta propiedad y también realizar el FOIL algebraico (First Outer Inner Last) con bastante facilidad. Por ejemplo, esta propiedad nos permite dividir la multiplicación 8×14 como 8x(10 + 4) = 8×10 + 8×4 = 80 + 32 = 112. Cuando hacemos un FOIL algebraico como en (x + 2)(x + 3), Podemos aplicar la propiedad distributiva dos veces para obtener que esto sea igual a x(x + 3) + 2(x + 3). Al separar las piezas y sumar, obtenemos x^2 +5x + 6.

Como puede ver en lo anterior, dominar estas propiedades no solo le dará más confianza para abordar el álgebra, o cualquier curso de matemáticas, sino que también le permitirá comprender mucho mejor a su maestro. Después de todo, si no hablas el idioma, no puedes entender lo que se dice. Llano y simple.