Tal día como hoy (30 de Marzo) de 1796, Gauss de 18 años demuestra cómo construir un polígono regular de 17 lados (el heptadecágono) de manera euclídea, es decir usando regla y compás.
Johann Carl Friedrich Gauss nació en Braunschweig el 30 de abril de 1777 y fue un matemático, astrónomo, y físico que contribuyó significativamente en muchos ámbitos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica.
La construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. La geometría clásica griega impuso esa norma para las construcciones, aunque los griegos también investigaron las que pueden obtenerse con instrumentos menos básicos.
Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución «con regla y compás» son la proverbial cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular, el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla y compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el compás idealizados de la geometría griega.
Por otro lado, algunos polígonos regulares (un ejemplo es el pentágono) son fácilmente construibles con regla y compás; otros no. Esto nos lleva a la pregunta: ¿es posible construir cualquier polígono regular con regla y compás?
El primer avance relevante para resolver este problema se debe a Gauss, que mostró en 1801 que un polígono regular de n lados puede construirse con regla y compás siempre que los factores primos impares de n sean primos de Fermat distintos. Gauss conjeturó que esta condición debía ser también necesaria, pero no aportó una demostración de este hecho, que fue lograda por Pierre Wantzel en 1837.
Cómo curiosidad comentar que los problemas clásicos de cuadratura del círculo, duplicación de cubo y trisección de ángulo, resistieron durante 2000 años los incontables intentos de encontrar construcciones que los resolvieran con regla y compás, de acuerdo con las normas antes indicadas. A mediados del siglo XIX se demostró matemáticamente que es imposible hacerlo.
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– ¡tachán!
– ¿que quieres?
– ¡tachan! ¡tachán!
– ¿queee pasaaaa?
– ¡mira papá! ¡he creado un polígono regular de 17 lados!
– ooohhhhhhh
– ¡con regla y compás!
– oooooohhhhh
– ¿que te parece?
– ¡fenomenal hijo!… pero….
– ¿pero qué?
– ¿puedes ir a comprar el pan , porfavor?
– ¿eh?
– y un poco de leche
– eh, si… menudo bajón…
– gracias hijo,… eres un crack… 17 lados , ooooohhhhhh…
– para papá
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